MATLAB 样条函数及其运用

5.12样条函数及其应用
5.12.1 样条插值

【 * 例 5.12.1-1 】根据连续时间函数 的采样数据，利用 spline 重构该连续函数，并检查重构误差。
t=-5:0.5:5;w=exp(-abs(t)); % 产生采样数据
N0=length(t);tt=linspace(t(1),t(end),10*N0);% 产生重构函数用的自变量数据
ww=spline(t,w,tt); % 进行重构
error=max(abs(ww-exp(-abs(tt)))) % 检查误差
plot(tt,ww,'b');hold on % 重构函数曲线
stem(t,w,'filled','r');hold off % 原采样数据杆图
error =
0.0840

图 5.12.1-1 样条插值进行信号重构

 

【 * 例 5.12.1-2 】用样条插值产生长、短轴分别在 45 度、 135 度线上的椭圆。
theta=[0:0.5:2]*pi; % 产生四个样点
y=[-0.5 1 -0.5 -1 0.5 1 -0.5;0.5 1 0.5 -1 -0.5 1 0.5]; %<3>
theta2=linspace(theta(1),theta(end),50*length(theta)); % 参量稠密化
yy=spline(theta,y,theta2); % 求稠密点上的插值
plot(yy(1,:),yy(2,:),'b');hold on
plot(y(1,:),y(2,:),'or');hold off,axis('image')

图 5.12.1-2 利用四个样点产生的椭圆

 

5.12.2 样条函数用于数值积分和微分

【 * 例 5.12.2-1 】对于函数 ，很容易求得 ， 。本例将借此演示样条函数求数值不定积分、导函数的能力。

（1）不定积分样条函数、导数样条函数的求取和精度分析
x=(0:0.1:1)*2*pi;y=sin(x); % 获得样点数据
pp=spline(x,y); % 求 PP 形式的样条函数 pp ，它近似表示
int_pp=fnint(pp); % 样条函数 pp 的数值不定积分 int_pp ，应近似 。
der_pp=fnder(pp); % 样条函数 pp 的数值导函数 der_pp ，应近似 。
% 在基础区间上，计算三个样条函数与理论值的最大误差
xx=(0:0.01:1)*2*pi;
err_yy=max(abs(ppval(pp,xx)-sin(xx)))
err_int=max(abs(ppval(int_pp,xx)-(1-cos(xx))))
err_der=max(abs(ppval(der_pp,xx)-cos(xx)))
err_yy =
0.0026
err_int =
0.0010
err_der =
0.0253

（2）不定积分样条函数、导数样条函数的使用
不定积分样条函数可用来计算基础区间中任何区间上的定积分。导数样条函数可方便地计算基础区间内任何一点的导数。
% 计算 y(x) 在区间 [1,2] 上的定积分
DefiniteIntegral.bySpline=ppval(int_pp,[1,2])*[-1;1]; % <2>
DefiniteIntegral.byTheory=(1-cos(2))-(1-cos(1));
% 计算 dy(3)/dx
Derivative.bySpline=fnval(der_pp,3);
Derivative.byTheory=cos(3);
Derivative.byDiference=(sin(3.01)-sin(3))/0.01; % 前向差分近似
DefiniteIntegral,Derivative
DefiniteIntegral =
bySpline: 0.9563
byTheory: 0.9564
Derivative =
bySpline: -0.9895
byTheo

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